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07 May 2008

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Statistische Methoden im Qualitätsmanagement

Einerseits existieren zu diesem Thema zahlreiche Bücher mit tausenden von Seiten. Andererseits gibt es umfangreiche Statistiksoftware, die dem Anwender Lösungen für seine Probleme anbietet sowie das Nachschlagen in Tabellen und Rechnen erspart.

Referenzhandbücher zu Qualitätsstandards enthalten ausführliche Anleitungen zur Ermittlung der Fähigkeit von Messystemen (MSA, VDA 5) oder zur Bestimmung der Prozessfähigkeit (VDA 3).

Daher werden hier lediglich gemeinsame Konzepte für die Methoden erläutert, die in den folgenden Seiten detaillierter behandelt werden.

Streuung

Misst man die Ergebnisse von hinreichend komplexen Prozessen, die mit einem festen Komplex von Bedingungen wiederholt ablaufen, stellt man fest, dass die Ergebnisse nicht exakt gleich sind. Da der feste Komplex von Bedingungen nicht alle Bedingungen umfasst, die einen Einfluss auf das Ergebnis haben, tritt eine Streuung auf.

Ursachen der Streuung können unterteilt werden nach:

• Mensch
• Maschine
• Material
• Methode
• Umwelt

Daher ist das Ergebnis eines einzelnen Versuches nicht vorhersagbar. Die Menge der Ergebnisse einer großen Zahl von Versuchen unterliegt jedoch Gesetzmäßigkeiten.

Als Grundlage für die folgenden Seiten, die einzelne statistische Methoden behandeln, sind die folgenden Inhalte geplant:

• Wahrscheinlichkeit
• Verteilungen
• Schätzen und Testen
• Einfluss auf eine Zielgröße
  • Fehlerfortpflanzung
  • Varianzanalyse
  • Regression

Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit p₁ för ein Ereignis E₁ ist eine Maßzahl, die angibt, mit welcher relativen Häufigkeit E₁ im Verhältnis zu Ω auftritt.

Dabei ist E₁ = {e₁, e₂, e₃,..., e_n} die Menge der Elementarereignisse e, bei deren Eintreten wir das Ereignis E₁ registrieren. Ω = {e₁, e₂, e₃,..., e_m}; m > n ist die Menge aller im betrachteten Umweltausschnitt möglichen Elementarereignisse. Elementarereignisse sind Ergebnisse von gedachten oder tatsächlichen Zufallsexperimenten, die sich gegenseitig ausschließen.

Elementarereignisse sind beispielsweise die Augenzahlen eines Würfels. Betrachten wir die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln, ist E₆ = {6} und Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Da wir bei einem Würfel voraussetzen, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind, können wir hier E₆ über die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit, Zahl der günstigen Fälle dividiert durch Zahl der möglichen Fälle berechnen und erhalten 1/6. Diese Voraussetzung machen wir auch, wenn wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, bei einer Prüfung ein fehlerhaftes Produkt zu finden.

Wenn unsere Elementarereignisse dagegen Ankünfte von Mitarbeitern zur Arbeit in festgelegten Zeitabschnitten sind, können wir nicht mehr von gleicher Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse ausgehen.

Wahrscheinlichkeiten erfüllen einige Bedingungen:

• Wahrscheinlichkeiten sind nicht negativ: p ≥ 0
• Wahrscheinlichkeiten sind nicht größer als 1: p ≤ 1
• Die Wahrscheinlichkeit, dass entweder das Ereignis E₁ oder das Ereignis E₂ eintritt, ist gleich der Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse, sofern die Ereignisse sich gegenseitig ausschließen.

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Der Additionssatz

Wir fragen nach der Wahrscheinlichkeit, dass entweder das Ereignis E₁ oder das Ereignis E₂ eintritt. Dabei unterscheiden wir zwei Fälle:

Die Ereignisse schließen sich gegenseitig aus.

Dieser Fall wurde bereits bei den Bedingungen, die Wahrscheinlichkeiten erfüllen müssen, behandelt.

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Der Multiplikationssatz

Hier fragen wir nach der Wahrscheinlichkeit, dass die Ereignisse E₁ und E₂ gemeinsam auftreten. In Beispiel 2 haben wir dafür bereits eine Lösung gefunden. Denn die Schnittmenge von E₁ und E₂ repräsentiert ja den Fall, dass wir mit Würfel 1 eine 3 und mit Würfel 2 eine 4 gewürfelt haben. Wir müssen allerdings unterscheiden:

Die Ereignisse sind statistisch unabhängig.

Die Ereignisse sind statistisch abhängig.

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Statistische Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit

Eine Lösung für Beispiel 4 erhalten wir auch, wenn wir sagen: Die Wahrscheinlichkeit, dass E₁ und E₂ eintreten, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass E₁ eintritt, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass E₂ eintritt, nachdem E₁ bereits eingetreten ist.

Als Formel geschrieben:

p(E₁ ∩ E₂) = p(E₁)*p(E₂ | E₁)

p(E₁ | E₂) wird als bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E₂ unter der Bedingung E₁ bezeichnet.

Bei Beispiel 4 ist p(E₁) = 1/2 und, wie wir bereits erläutert hatten, p(E₂ | E₁) = 2/3. Damit ergibt sich für p(E₁ ∩ E₂) wiederum das Ergebnis 1/3.

Gehen wir zurück auf Beispiel 3, sehen wir, dass die Augenzahl des zweiten Würfels durch die des ersten nicht beeinflusst wird. p(E₂ | E₁) ist hier also einfach gleich p(E₂).

Die Bedingung für statistische Unabhängigkeit können wir also durch

p(E₁ ∩ E₂) = p(E₁)*p(E₂)

formulieren. Dies ist einerseits eine Rechenvorschrift: Wenn wir wissen oder annehmen, dass zwei Ereignisse unabhängig sind, können wir die Schnittmenge berechnen.

Andererseits erlaubt die Formel auch einen Test: Wenn wir Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse und für die Schnittmenge haben, können wir feststellen, ob die Ereignisse unabhängig sind.

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Totale Wahrscheinlichkeit und Bayessche Formel

Hat man in einem Ereignisfeld Ω ein vollständiges System von n Ereignissen A_i, i = 1, 2, 3, ..., n so dass gilt:

A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ ...A_n = Ω       A_i ∩ A_j = Ø

In diesem Ereignisfeld ist ein weiteres Ereignis B definiert, das mindestens mit einem A_i eine nicht leere Schnittmengen bildet, so dass weiter gilt:

B = B∩(A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ ...A_n)

Da die A_i sich gegenseitig ausschließen, schließen sich auch die B ∩ A_i aus, und man erhält für die Wahrscheinlichkeit von B (Totale Wahrscheinlichkeit):

P(B) = ∑ P(B | A_i) * P(A_i)       

Aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt, dass P(B | A_i) * P(A_i) = P(A_i | B) * P(B). Löst man dies nach P(A_i | B) auf und ersetzt P(B) mit Hilfe der totalen Wahrscheinlichkeit gelangt man zur Formel von Bayes:

P(A_i | B) = P(B | A_i) * P(A_i) / ∑ P(B | A_i) * P(A_i)

Die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit enthält 2n + 1 Variable und gestattet es also, wenn 2n experimentell ermittelt sind, die fehlende Variable zu berechnen. Die Bayessche Formel erlaubt den Sichtwechsel von B | A_i auf A_i | B. In beiden Fällen können Informationen, die direkt nur schwer zu erhalten sind, aus anderen, leichter zugänglichen, durch Rechnung ermittelt werden.

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Das Baumdiagramm

Das Baumdiagramm ist eine einfache und übersichtliche Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeiten von aufeinanderfolgenden Ereignissen zu berechnen.

Das Baumdiagramm beginnt an einem Ursprung O. Für jede Wahlmöglichkeit wird ein Pfad eingezeichnet, der an einem Knotenpunkt endet. Der Knotenpunkt entspricht einem Ereignis. Er kann entweder Ausgangspunkt für weitere Pfade oder ein Endpunkt sein. Für die Auswertung von Baumdiagrammen gelten die folgenden Regeln:

• Multiplikationsregel: Verläuft der Pfad zu einem Endknoten über mehrere Zwischenknoten, erhält man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, das durch den Endknoten repräsentiert wird, durch die Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade, aus denen sich der zu dem Endknoten führende Pfad zusammensetzt.
• Additionsregel: Wird ein Ereignis durch mehrere Endknoten, die über verschiedene Pfade erreicht werden, repräsentiert, ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten, mit denen die zugehörigen Endknoten erreicht werden.
• Ergänzung zu 1: Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Endknoten erreicht werden, ergänzen sich zu 1.

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Kombinatorik

In vielen praktischen Fällen haben die Elementarereignisse in einem Ereignisfeld bekannte Wahrscheinlichkeiten:

• Kopf beim Münzwurf
• Würfeln einer 6 mit einem Würfel
• Entnehmen eines defekten Teils aus einer Stichprobe mit dem Fehleranteil x%

Die Kombinatorik erlaubt es, daraus Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse, die nach festgelegten Regeln aus den Elementarereignissen gebildet werden, zu berechnen. Weil gleich wahrscheinliche Elementarereignisse betrachtet werden, ist die Wahrscheinlichkeit gleich der Zahl der günstigen Fälle dividiert durch die Zahl der möglichen Fälle. Viele derartige Ereignisse lassen sich durch ein Urnenmodell simulieren

Zur Erläterung betrachten wir die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass wir bei der Entnahme einer Stichprobe von 4 Teilen aus einer Grundgesamtheit, die 25% Ausschuss enthält, 0, 1, 2, 3 oder 4 defekte Teile erhalten.

Das Urnenmodell dazu ist eine Urne mit n=4 Kugeln, von denen eine schwarz (defekt) ist und die anderen drei weiss (intakt) sind. Aus dieser Urne ziehen wir nach Mischen eine Kugel, notieren die Farbe und legen die Kugel zurück. Dies wiederholen wir, bis wir vier Kugeln gezogen haben. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass wir gerade k mal die schwarze Kugel ziehen?

Da es zwar ohne weiteres möglich ist, nach der beschriebenen Methode auch die Wahrscheinlichkeiten für die anderen Fälle zu berechnen, der Weg über das Baumdiagramm für größere Modelle jedoch zu umständlich ist, untersuchen wir unser Ergebnis genauer. Die möglichen Reihenfolgen, in denen die schwarze und die weißen Kugeln gezogen werden sind gemäß dem Baumdiagramm:

S	W	W	W
W	S	W	W
W	W	S	W
W	W	W	S

Dies entspricht der Vertauschung (Permutation) von 4 Elementen. Hierfür gibt es 4! Möglichkeiten. Da wir aber die Vertauschungen der weißen Kugeln untereinander nicht als neuen Zustand sehen, müssen wir dies durch die Zahl der Permutationen der weißen (und der schwarzen) Kugeln dividieren und erhalten:

P(1;4) = 4!/(1!*3!) * 0,25¹ *0,75³

Oder verallgemeinert die Wahrschinlichkeit unter n gezogenen Kugeln mit Zurücklegen k schwarze zu erhalten:

P(k;n) = n!/(k!*(n-k)!) * p^k *(1-p)^(n-k)

Dabei ist p die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel zu ziehen. Dies entspricht der Zahl der schwarzen Kugeln dividiert durch die Gesamtzahl der Kugeln in der Urne.

n!/(k!*(n-k)!) wird als Kombination von n zur k-ten Klasse bezeichnet.

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Verteilungen

Verteilungen beschreiben die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen mathematisch. Sofern die Verteilungsfunktion für eine Zufallsvariable, deren Ausprägung ein Ereignis aus der Menge der möglichen Ereignisse repräsentiert, bekannt ist, kann die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse berechnet werden.

Diskrete Verteilungen

Eine diskrete Verteilung liegt vor, wenn die Zufallsvariable nur bestimmte, beispielsweise ganzzahlige Werte annehmen kann.

Die Verteilungsfunktion ist gegeben durch:

F(x) = P(X ≤ x)

Sie gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt.

Für die Augenzahl eines Würfels ergibt sich die Verteilungsfunktion:

       

Dies ist eine Treppenkurve, die die Werte 1/6 bis 1 durchläuft. 1/6 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert x auftritt. Bezeichnen wir diese mit f(x_i), kann die Verteilungsfunktion allgemein geschrieben werden:

f(x_i) ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Wichtige Kenngrößen einer Verteilung sind der Erwartungswert μ und die Varianz σ².

Erwartungswert:

Varianz:

Die Wurzel aus der Varianz ist die Standardabweichung σ. Für Stichproben der Größe n entspricht dem Erwartungswert der Mittelwert:

Die Varianz wird nach

berechnet.

Wie groß sind der Erwartungswert und die Varianz für die Augenzahl eines Würfels?

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Binomialverteilung

Die Binomialverteilung gibt Antwort auf die Frage, wie alternative Merkmale auf eine Stichprobe verteilt sind. Derartige Merkmale sind Kopf oder Zahl beim Wurf einer Münze und gut oder schlecht bei der Prüfung von Produkten.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) für eine Stichprobe n, die klein gegen die Grundgesamtheit ist, mit x Einheiten, die das untersuchte Merkmal tragen, lautet:

p ist die auf die Grundgesamtheit bezogene Wahrscheinlichkeit, eine Einheit, die das Merkmal trägt, zu finden. Die Grundgesamtheit ist die Menge aller vergleichbaren Einheiten.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion setzt sich zusammen aus der Wahrscheinlichkeit p^x, x Elemente mit dem Merkmal zu finden, der Wahrscheinlichkeit (1-p)^n-x, n-x Elemente zu finden, die das Merkmal nicht tragen und einem Glied, das alle möglichen Reihenfolgen, in denen die Einheiten auftreten können, berücksichtigt, weil diese als gleichwertig angesehen werden. n! (n-Fakultät) ist das Produkt der Zahlen von 1 bis n. Als Definition gilt: 0! = 1. Dies hatten wir bereits oben mit Hilfe des Beispiels zur Kombinatorik plausibel gemacht.

Die Verteilungsfunktion ergibt sich durch Aufsummieren der f(x_i).

Der Erwartungswert einer Binomialverteilung ist E = np, die Varianz ist σ² = np(1-p). Die Standardabweichung σ wächst also mit √‾n.Bezogen auf den Erwartungswert nimmt die Standardabweichung jedoch mit der Wurzel aus der Stichprobengröße ab. Dies zeigen die folgenden Abbildungen, in denen Verteilungen mit p=0,25, der Fall von Beispiel 8, und p=0,75 einmal für eine Stichprobe n=4 und dann für eine Stichprobe n=20 aufgetragen sind.

 

Mit größer werdender Stichprobe stehen um den Schwerpunkt der Verteilung herum mehr Realisierungsmöglichkeiten für die Variable x zur Verfügung. Deshalb konzentrieren sich die Verteilungen mehr um den Erwartungswert und können durch Tests unterschieden werden.

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Hypergeometrische Verteilung

Verändern wir die Bedingungen für das Ziehen von Kugeln aus einer Urne so, dass

• nicht zurückgelegt wird und
• die Zahl der entnommenen Kugeln gegenüber der Gesamtzahl der Kugeln nicht vernachlässigbar ist,

hängt die Wahrscheinlichkeit eine schwarze oder eine weiße Kugel zu ziehen vom Ergebnis der vorhergehenden Ziehungen ab. Zur Klärung betrachten wir ein einfaches Beispiel zunächst wieder mit Hilfe eines vereinfachten Baumdiagramms.

Durch Verallgemeinerung des Beispieles erhalten wir also die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die hypergeometrische Verteilung:

Die Verteilungsfunktion ergibt sich durch Aufsummieren der f(x_i). Der Erwartungswert ist, wie bei der Binomialverteilung, E = kp, wenn man p = s/n setzt. Die Varianz ist σ² = kp(1-p)*(1-k/n). Die Varianz der Binomialverteilung ist hier also durch den Faktor 1-k/n korrigiert, durch den berücksichtigt wird, dass die Breite der Verteilung um so mehr abnimmt, je mehr sich die Stichprobe der Grundgesamtheit annähert. Wenn alle Kugeln aus der Urne entnommen werden, ist schließlich nur noch ein Ergebnis möglich.

Die Hypergeometrische Verteilung beschreibt die Verhältnisse bei der Prüfung einer Stichprobe nach gut und schlecht exakt, während die Binomialverteilung eine Näherung ist, die verwendbar ist, wenn die Grundgesamtheit mindestens 20 mal so groß ist wie die entnommene Stichprobe.

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Poisson-Verteilung

Im Gegensatz zur Binomialverteilung und zur Hypergeometrischen Verteilung, bei denen es um die Verteilung von Einheiten geht, die alternative Merkmale tragen, behandelt die Poisson-Verteilung die Zahl der Merkmale pro Einheit. Beispiele hierfür sind die Isolationsfehler pro km Lackdraht, die Beschichtungsfehler pro Schaltschrank, Sicherungsausfälle pro Monat oder die Zahl der Gewinne pro 10 Lose.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für einen Erwartungswert von λ Merkmalen pro Einheit lautet

Die Verteilungsfunktion ergibt sich wieder durch Aufsummieren der f(x_i).

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Kontinuierliche Verteilungen: Die Normalverteilung

Kontinuierliche Verteilungen beziehen sich auf Zufallsvariablen, die innerhalb eines vorgegebenen Bereichs beliebige Werte auf dem Zahlenstrahl annehmen können.

Die Normalverteilung ist eine in der Praxis sehr wichtige Verteilung, weil

die Summe beliebiger kontinuierlicher Zufallsvariablen mit zunehmender Zahl der Summanden immer gegen eine Normalverteilung konvergiert.

Dieser zentrale Grenzwertsatz gilt immer, wenn nicht ein Summand in seinem Einfluss überwiegt.

Bei gleichverteilten Zufallsvariablen genügen bereits 3 Summanden, um die Normalverteilung recht gut anzunähern.

Dies zeigt die Abbildung, in der die Wahrscheinlichkeiten der Augensummen beim Würfeln mit 3 Würfeln als Datenpunkte dargestellt sind. Überlagert ist eine Normalverteilung mit dem Mittelwert 10,5 und der Standardabweichung 2,96, die man aus dem Würfelmodell berechnet.

Selbstverständlich ist die Augensumme keine kontinuierliche Zufallsvariable. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion wird trotzdem durch die Normalverteilung gut wiedergegeben. Dies zeigt praktisch, daß die Normalverteilung auch auf diskrete Zufallsvariable angewendet werden kann. Da durch die Ungenauigkeit von Meßgeräten oder durch Klassenbildung von Meßwerten immer eine Stufung vorgenommen wird, ist dies eine Voraussetzung für ihre Anwendbarkeit.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion, die bei kontinuierlichen Verteilungen als Wahrscheinlichkeitsdichte bezeichnet wird, ist gegeben durch:

Für die Bildung der Verteilungsfunktion wird, weil die Verteilung kontinuierlich ist, die Summe durch ein Integral ersetzt und man erhält.

Die Darstellung wird unabhängig vom Mittelwert μ und der Standardabweichung σ, wenn man eine neue Zufallswariable u bildet.

u = (x-µ)/σ

Diese Zufallsvariable hat dann den Erwartungswert 0 und die Varianz (Quadrat der Standardabweichung) 1. Die Normalverteilung für diese Variable (Standardnormalverteilung) ist tabelliert.

Wenn man also die Parameter μ und σ durch Berechnung des Mittelwertes und der Varianz einer Stichprobe geschätzt hat, kann man berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit bestimmte x auftreten.

Innerhalb der Grenzen ±σ um den Mittelwert liegen 68% der Verteilung, innerhalb ±2σ 95,5% und innerhalb ±3σ 99,73%. Für Fertigungsprozesse müssen daher die Toleranzgrenzen möglichst > 4σ um den Zentralwert liegen, da dann die Ergebnisse des Prozesses zu > 99,99% im zulässigen Bereich erwartet werden können.

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Weitere kontinuierliche Verteilungen werden im folgenden Abschnitt besprochen.

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Schätzen und Testen

Wenn es darauf ankommt mit Hilfe einer Stichprobe Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit zu ziehen oder Stichproben miteinender zu vergleichen, werden statistische Schätz- und Testverfahren angewendet.

Schätzungen

Durch Schätzung werden die Parameter der Verteilung der Grundgesamtheit aus einer Stichprobe ermittelt. Eine Punktschätzung liefert den wahrscheinlichsten Wert für den Parameter, während Bereichsschätzungen den Bereich angeben, in dem der Parameter bei einer vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit liegt.

Punktschätzung

In Beispiel 10 haben wir intuitiv den arithmetischen Mittelwert der Ausfälle der Stromversorgungen pro Monat als Schätzwert für den Parameter λ der Poisson-Verteilung verwendet. Da wir beispielsweise auch den Median hätten verwenden können, gilt es zu begründen, dass das arithmetische Mittel der geeignete Schätzer ist. Ein Verfahren dazu ist die Maximum-Likelihood-Methode. Bei dieser Methode wird der Schätzer so variiert, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Stichprobe so auftritt, wie sie gefunden wurde, maximal wird.

Die Verteilungsfunktion selbst wird bei der Anwendung der Maximum-Likelihood-Methode als bekannt vorausgesetzt.

Wenn die Verteilung meherere Parameter hat, die geschätzt werden sollen, gewinnt man durch partielle Ableitung der Likelihood-Funktion nach den Schätzern und gleich Null setzen der Ableitungen die nötige Zahl von Gleichungen, um die Parameter zu bestimmen.

Bereichsschätzung

Wenn man auf der Basis einer Punktschätzung eine Entscheidung trifft, etwa zur Bevorratung von Ersatzteilen, wie das in Beispiel 10 erläutert wurde, besteht neben der Wahrscheinlichkeit, dass die durch die Verteilungsfunktion gegebene Ausfallwahrscheinlichkeit überschritten wird, auch noch das Risiko, dass die tatsächliche mittlere Ausfallwahrscheinlichkeit von dem geschätzten Wert abweicht. Bereichsschätzungen liefern Informationen darüber, wie groß dieses Risiko ist.

Wir gehen also davon aus, dass die aus einer konkreten Stichprobe ermittelte Punktschätzung für den Parameter die Realisierung einer Zufallsvariable ist, die einer Verteilungsfunktion unterliegt. Wenn wir diese Verteilungsfunktion kennen, können wir einen Bereich angeben, in dem der geschätzte Parameter mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit liegt.

Wichtige Parameter und deren Verteilungsfunktionen sind:

Verteilung Stichprobe	Parameter	Bedingungen	Verteilung Parameter
Normalverteilt	Mittelwert	Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt	Normalverteilt mit der Standardabweichung σ/√n‾
Normalverteilt	Mittelwert	Standardabweichung der Grundgesamtheit aus Standardabweichung der Stichprobe geschätzt	t-verteilt mit der Standardabweichung s/√n‾ und dem Freiheitsgrad n-1
Normalverteilt	Standardabweichung	Standardisiert durch die Teststatistik (n-1)s2/σ2	Chi-Quadrat verteilt mit dem Freiheitsgrad n-1
Poisson-verteilt	Mittelwert λ	Teststatistik 2nλ. n ist die Zahl der Beobachtungseinheiten	Chi-Quadrat verteilt mit dem Freiheitsgrad 2x für den oberen Grenzwert und 2x+1 für den unteren Grenzwert. x ist die Zahl der Ereignisse in n Beobachtungseinheiten.

Für die Poisson-Verteilung (Thorndike) und die Binomialverteilung (Larson) sind Diagramme bzw. Nomogramme verfügbar aus denen sich die Vertrauensbereiche für die Schätzung der Parameter der Verteilungen ablesen lassen.

Detaillierter erlätert wird der Weg für die Bereichsschätzung mit zweiseitiger Abgrenzung an dem einfachen Fall des Mittelwertes einer normalverteilten Stichprobe bei bekannter Standardabweichung der Grundgesamtheit.

1. Eine Teststatistik wird gebildet, welche den zu schätzenden Parameter mit einer standardisierten Verteilungsfunktion verbindet.

   

   u ist normalverteilt mit dem Mittelwert 0 und der Standardabweichung 1
2. Die Irrtumswahrscheinlichkeit α für die Bereichsschätzung wird festgelegt.

   

   Wenn u_α/2 und u_1-α/2 die α/2- und 1-α/2-Quantile der Standardnormalverteilung bezeichnen, liegt die Teststatistik mit der Wahrscheinlichkeit 1-α in dem grün markierten Bereich.

   

3. Der Ausdruck in der Klammer wird den Rechenregeln für Ungleichungen entsprechend so umgeformt, dass die Unter- und Obergrenze von μ durch den Stichprobenmittelwert und die α/2- und 1-α/2-Quantile der Standardnormalverteilung bestimmt werden.

   

   Da u_α/2 gleich -u_1-α/2 ist, gilt:

           

4. Der Vertrauensbereich des Mittelwertes ist für eine gegebene Stichprobe und eine gegebene Irrtumswahrscheinlichkeit konstant.

   

   Seine Lage hängt jedoch von der Realisierung der Zufallsvariable x‾ ab.

           

   Entsprechend der Irrtumswahrscheinlichkeit α kann der Mittelwert der Grundgesamtheit auch außerhalb des aus der Stichprobe ermittelten Vertrauensbereiches liegen.

Einseitige Bereichsschätzungen werden analog durchgeführt, indem die Wahrscheinlichkeit 1-α dafür angegeben wird, dass die Teststatistik größer als das α-Quantil der standardisierten Verteilungsfunktion oder kleiner als das 1-α-Quantil der standardisierten Verteilungsfunktion ist.

Die Funktion NORMINV in Microsoft Excel liefert die Quantile der Normalverteilung für eine gegebene kumulierte Wahrscheinlichkeit. Parameter sind der Mittelwert und die Standardabweichung (0;1 bei der Standardnormalverteilung)

Diese Aussage ist allerdings nicht quantitativ. Um herauszufinden, mit welcher Wahrscheinlichkeit die obere Toleranzgrenze überschritten wird, betrachten wir die Auftragung der Werte im Wahrscheinlichkeitsnetz (Beispiel 11)und lesen 2,3% ab. Da dies offensichtlich zu viel ist, fragen wir, ob denn mit einer zentralen Lage des Prozesses eine akzeptable Ausschussquote zu erreichen ist. Hierzu dividieren wir den Toleranzbereich 0,2mm durch die Standardabweichung der Grundgesamtheit 0,033mm. Bei einer Gesamttoleranz von 6σ ist die gesamte Überschreitungswahrscheinlichkeit 2*G(3), wobei G(u) die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist. Wir erhalten:

P(x<24,0mm) + P(24,2mm<x)=0,24%

Diese Ausfallwahrscheinlichkeit, die einen optimistischen Fall darstellt, ist unter normalen Umständen in einer Serienfertigung nicht zu tolerieren. Es muss daher nach einem Fertigungsverfahren mit einer geringeren Streuung gesucht werden oder die Toleranz muss durch konstruktive Maßnahmen vergrößert werden.

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Tests

Statistische Tests dienen generell dem Schluss von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit. Die Schlussweise ist daher induktiv und damit nicht zwingend sondern mit einer Wahrscheinlichkeit < 1 behaftet. Es bedarf also immer einer menschlichen Entscheidung, wie mit dem Ergebnis des Tests verfahren werden soll.

Bei einem statistischen Test wird eine Frage so gestellt, dass sie mit einer vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit mit ja oder nein beantwortet werden kann.

Die Fragestellung wird als Hypothese (begründete Vermutung) formuliert. Man unterscheidet zwischen der Nullhypothese H₀, die konventionell aussagt, dass die Stichprobe und die Referenz sich nicht unterscheiden und einer Alternativhypothese H₁, die einen Unterschied postuliert. Prüft man eine Hypothese mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α, können grundsätzlich zwei Arten von Fehlern auftreten:

• Eine zutreffende Nullhypothese wird abgelehnt: Fehler 1. Art, Wahrscheinlichkeit α
• Eine nicht zutreffende Nullhypothese wird nicht abgelehnt: Fehler 2. Art, Wahrscheinlichkeit β

Wir betrachten die grundsätzliche Vorgehensweise bei einem statistischen Test an Hand eines einfachen Beispiels.

Vergleich von zwei Erwartungswerten bei bekannter Varianz

Berechnung einer Operationscharakteristik

Zunächst sollen die Einflüsse qualitativ mit Hilfe einer Grafik erläutert werden.

Im oberen Teil der Grafik ist die Verteilung der Differenz der Stichprobenmittelwerte entsprechend der Nullhypothese dargestellt. Durch die Irrtumswahrscheinlichkeit ist der kritische Wert festgelegt, bei desssen Überschreitung die Nullhypothese abgelehnt wird.

Wenn sich aber die Mittelwerte der Grundgesamtheiten, die den beiden Stichproben zugrunde liegen, tatsächlich um den Betrag μ₁-μ₂ unterscheiden, ergibt sich für die Differenz der Stichprobenmittelwerte eine Verteilung, die mit der der Nullhypothese zugeordneten überlappt. Dies ist für den Fall, dass die Differenz der Mittelwerte der Grundgesamtheiten in Einheiten der Standardabweichung dieser Differenz 3 berträgt, im unteren Teil der Grafik dargestellt.

Der Bereich β unterhalb des kritischen Wertes stellt die Wahrscheinlichkeit dar, mit der die Nullhypothese angenommen wird, obwohl sie falsch ist. Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich zunächst nach Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit durch die tatsächliche Differenz der Mittelwerte der Grundgesamtheiten, die Standardabweichungen und die Größe der Stichproben.

Weil aber gewöhnlich die technische Funktion der Prüflinge eine Begrenzung der Differenz der Mittelwerte der Grundgesamtheiten erfordert, ist festzulegen:

• Die tolerierte Abweichung (nach oben und nach unten bei zweiseitiger Fragestellung)
• Das zugehörige akzeptierte β

Die Operationscharakteristik stellt die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art als Funktion der Differenz der Erwartungswerte der zwei Stichproben dar.

Aufgetragen ist die Wahrscheinlichkeit für das irrtümliche Annehmen der Hypothese gegen die Abweichung der Mittelwerte der Grundgesamtheit in Einheiten der Standardabweichung der Stichprobe mit der Größe der Stichprobe als Parameter. Dabei wurde angenommen, dass n = n₁ = n₂ und σ = σ₁ = σ₂ ist. Die Abhängigkeit von der Größe der Stichprobe ergibt sich durch den Zusammenhang zwischen σ und σ_d.

Tests für Erwartungswerte und Varianzen sind in DIN 55 303, Teil 2, genormt. Hier finden sich auch Operationscharakteristiken für die verschiedenen Tests. Statistiksoftware unterstützt die Tests ebenfalls. Bei Unsicherheit über den anzuwendenden Test und die Interpretation der Ergebnisse sollte, sofern Hilfe und Handbücher der verwendeten Software keine ausreichende Information liefern, auf die Fachliteratur zurückgegriffen werden.

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Einfluss auf eine Zielgröße

Unter Zielgröße verstehen wir hier eine abgeleitete Größe, die von Zufallsvariablen und eingestellten Parametern abhängt. Dabei kann natürlich auch die Einstellung der Parameter einen zufälligen Anteil enthalten. Beispiele sind:

1. Die Verteilung des Gewichts der Passagiere in einem vollbesetzten Flugzeug
2. Die Zufriedenheit von Kunden mit Bezug auf gekaufte Produkte und Service
3. Die Lebensdauer eines Lagers in Abhängigkeit von Materialkenngrößen, der Oberflächenbehandlung und dem eingesetzten Schmierstoff

Die Fragestellungen bei den drei Beispielen sind unterschiedlich. Im ersten Beispiel ist es für den Flugzeugbauer natürlich von Interesse zu wissen, in welchen Grenzen das Gesamtgewicht der Passagiere bei gegebenem Vertrauensbereich und gegebener Gewichtsverteilung der Passagiere liegen wird. Dies entscheidet darüber, wieviel Gepäck pro Passagier erlaubt werden kann und wieviel Zuladung eingeplant werden kann, ohne das zulässige Startgewicht zu überschreiten.

Die statistische Fragestellung ist in diesem Fall die Fehlerfortpflanzung. Wie wirkt sich die Abweichung des Gewichtes der einzelnen Passagiere vom Mittelwert auf die Verteilung des Gesamtgewichts von n Passagieren aus?

Im zweiten Fall geht es um die Auswertung einer Kundenbefragung. Einfluss auf die Zufriedenheit haben möglicherweise die Kundengruppe, die gekaufte Produktvariante, die Art des mit erworbenen Servicepakets und der Kundendienst, der den Service durchführt. Wenn eine ausreichende Zahl von Datensätzen vorliegt, bei denen die Einstellungen dieser Parameter bekannt sind, erlaubt die Varianzanalyse eine Zuordnung der Parametereinstellungen zu der resultierenden Zufriedenheit.

Das dritte Beispiel beschäftigt sich mit einer Produktoptimierung. Sofern die Lebensdauer von Kugellagern, bei denen Einflussgrößen auf verschiedene Werte eingestellt und sinnvoll miteinander kombiniert wurden, an einer ausreichenden Stichprobe gemessen wurden, kann die erwartete Lebensdauer als Funktion der Parameter dargestellt werden. Die statistische Methodik dazu ist die Regression.

Fehlerfortpflanzung

Ein bewährter Ansatz zur Berechnung der Streuung abgeleiteter Größen aus dem Fehler direkt gemessener Größen ist die Gauß′sche Theorie der Fehlerfortpflanzung. Dies ist eine Näherung, die davon ausgeht, dass die Kenngrößen der gemessenen Stichprobe die Grundgesamtheit mit hinreichender Genauigkeit beschreiben und dass die Streuungen klein gegen die Messgrößen sind. Außerdem wird hier angenommen, dass die einzelnen Einflussgrößen stochastisch unabhängig voneinander sind. Sind sie dies nicht, müssen bei der Berechnung Kovarianzen berücksichtigt werden.

Eine Zufallsvariable z sei eine Funktion von a, b, c,… welche ebenfalls Zufallsvariable sind, z = f(a, b, c, ...). Deren Verteilungen seien charakterisiert durch einen Mittelwert und eine Standardabweichung a‾± σ_a, b‾± σ_b, c‾± σ_c.

Die Differenz zwischen einem Einzelwert und dem Mittelwert einer beliebigen Zufallsvariable x - x‾ soll mit dx bezeichnet werden. Für die Abweichung eines z-Wertes von z‾in Abhängigkeit von den Abweichungen von a, b, c, ... ergibt sich dann:

Wenn wir die Varianz einer Stichprobe x₁, x₂, x₃, ..., x_n in der Form

schreiben, erhalten wir, indem wir die dz quadrieren, aufsummieren und mit 1/(n-1) multiplizieren, die Varianz von z als Funktion der Varianzen von a, b, c, ....

Wir können also σ_z² aus den experimentell bestimmten Varianzen von a, b, c, ... bestimmen, wenn z eine differenzierbare Funktion dieser Zufallsvariablen ist.

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Varianzanalyse